预备知识

真空中的麦克斯韦方程组

关于麦克斯韦方程组的积分及微分形式推导参见上一篇：麦克斯韦方程组的推导及形式转换
真空中的麦克斯韦方程组需进行相应的修正，即:

• 空间内净电荷数为0
• 空间内无传导电流，磁场仅由位移电流产生

Nabla算子与Laplace算子

Nabla算子：

$$\nabla = grand = \frac{\partial }{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial }{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial }{\partial z} \vec{k} $$

Laplace算子：

$$ \Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = div(grand) = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2} $$

对于标量场：

$$ \nabla^2 f = \nabla \cdot ( \nabla f) = \frac{\partial^2 f }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$

对于矢量场：

$$ \nabla^2 \vec{F} = \nabla \cdot ( \nabla \vec{F}) = (\nabla^2 F_x) \vec{i} + (\nabla^2 F_y) \vec{j} + (\nabla^2 F_z0) \vec{k} $$

运算法则：

$$ \nabla \times ( \nabla \times \vec{f} ) =\nabla ( \nabla \cdot \vec{f} ) - \nabla^2 \vec{f} $$

由微分形式推导真空光速

真空中的修正形式

真空中的麦克斯韦方程组微分形式：

$$ \nabla \cdot \vec{E}=0\tag{1} $$

$$ \nabla \cdot \vec{B}=0 \tag{2} $$

$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \tag{3} $$

$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \tag{4} $$

推导过程

$$ \nabla \times ( \nabla \times \vec{E} ) = -\nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \tag{5} $$

由$\nabla$算子的运算法则可知：

$$ \nabla \times ( \nabla \times \vec{E} ) =\nabla ( \nabla \cdot \vec{E} ) - \nabla^2 \vec{E} \tag{6} $$

联立(1)、(5)、(6)式可得：

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} $$

同理可得：

$$\nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} $$

设一电磁波沿X轴方向传播，则电场、磁场方向分别为Y、Z轴方向，可得两方程，即单向传播时的**麦克斯韦波动方程**：

$$\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}$$

$$\frac{\partial^2 B_z}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2}$$

这里以其中电场的方程为例，使用磁场方程可以得到同样的结果：

$$ \begin{split} \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} \cdot \frac{x^2}{t^2} \\\\ &= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} \cdot c^2 \\\\ &= \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} \end{split} $$

整理可得：

$$c^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} $$

最终得到真空中光速的表达形式为：

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$

由积分形式推导真空光速

真空中的修正形式

真空中的麦克斯韦方程组积分形式：

$$ \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S}= 0 \tag{7} $$

$$ \oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}= 0 \tag{8} $$

$$ \oint_{l} \vec{E} \cdot d\vec{l}= - \iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \tag{9} $$

$$ \oint_{l} \vec{B} \cdot d\vec{l}= \mu_0 \varepsilon_0 \iint_{S} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \tag{10}$$

推导过程

设电磁波沿X轴方向传播，则电场方向为Y轴方向，磁场方向为Z轴方向。

在$xOy$平面内取一矩形回路，设其中一顶点坐标为$(x,y,0)$，回路的长、宽分别为$\Delta x 、\Delta y$。
对其应用法拉第电磁感应定律可得：

$$ \oint_{l} \vec{E} \cdot d\vec{l}= - \iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S} = - \frac{\partial B_z}{\partial t} \Delta x \Delta y \tag{11} $$

对电场强度的环路积分应用泰勒公式：

$$ \begin{equation} \begin{split} \oint_{l} \vec{E} \cdot d\vec{l} &= E_y(x+ \Delta x) \Delta y - E_y(x) \Delta y \\\\ &= \left [ E_y(x) + \frac{\partial E_y}{\partial x} \Delta x + o(\Delta x)^2 \right ] \cdot \Delta y - E_y(x) \Delta y \\\\ &= \frac{\partial E_y}{\partial x} \Delta x \Delta y \end{split} \tag{12} \end{equation} $$

整理(11)、(12)二式可得：

$$\frac{\partial E_y}{\partial x} \Delta x \Delta y = - \frac{\partial B_z}{\partial t} \Delta x \Delta y$$

消去$\Delta x \Delta y$后即：

$$ \frac{\partial E_y}{\partial x} = - \frac{\partial B_z}{\partial t} \tag{13} $$

在$xOz$平面内再取一矩形回路，设其中一顶点坐标为$(x,y,0)$，回路的长、宽分别为$\Delta x 、\Delta y$。
对其应用全电流定律可得：

$$ \oint_{l} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \varepsilon_0 \iint_{S} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d\vec{S} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \Delta x \Delta z $$

依照上文中的方式对磁场强度的环路积分应用泰勒公式并进行整理，可得：

$$ - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \tag{14}$$

由偏微分的性质可得：

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left (\frac{\partial B_z}{\partial x} \right ) = \frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{\partial B_z}{\partial t} \right ) $$

带入(13)、(14)式可得：

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left (-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \right ) = \frac{\partial}{\partial x} \left (-\frac{\partial E_z}{\partial x} \right ) $$

整理后可得：

$$\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \tag{15} $$

同理，换用$E_y$的偏微分性质可得：

$$\frac{\partial^2 B_z}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2} \tag{16}$$

(15)、(16)式即第二节中所说的单向传播时的麦克斯韦波动方程

之后的计算过程与第二节微分形式时完全相同，在方程一侧凑出光速的平方$c^2$再消掉相同项，这里补充一下使用磁场方程的例子：

$$ \begin{split} \frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2 B_z}{\partial x^2} \cdot \frac{x^2}{t^2} \\\\ &= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} \cdot c^2 \\\\ &= \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} \end{split} $$

整理可得：

$$c^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} $$

最终得到真空中光速的表达形式为：

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$