定积分换元法、分步积分表格法和指数正弦型函数不定积分方法记录

简单记录一下积分计算中的几种技巧方法。

定积分换元法

一

$$ \int^b_a f(x) dx \quad \ce{\xlongequal{t=a+b-x}} \quad \int^b_a f(t)dt $$

二

$$ \int^a_0 f(x) dx \quad \ce{\xlongequal{xb=ta}} \quad \int^b_0 f(\frac{a}{b}t)\cdot\frac{a}{b}dt $$

三 (周期函数)

$$ \int^{a+T}_a f(x) dx \quad \ce{\xlongequal{x=t+a}} \quad \int^T_0 f(t+a)dt $$

四

$$ \int^b_a f(x) dx \quad \ce{\xlongequal{*}} \quad \int^d_c f(\frac{t-c}{d-c}(b-a)+a)\cdot\frac{b-a}{d-c}dt $$ $$ 其中 t=\frac{x-a}{b-a}(d-c)+c \quad x=\frac{t-c}{d-c}(b-a)+a $$

分步积分的表格法

表格法是计算复杂不定积分的方式之一，本质上是从分步积分法中归纳总结而来的。一般适用于计算幂函数与三角函数，幂函数与指数函数的组合积分。
具体过程是在一张表格中将幂函数进行多次求导，三角函数或指数函数进行多次积分，最后依次用加减相连。以$\int x^3\sin x dx$为例：

首先列表格如下：

$x^3$	$3x^2$	$6x$	$6$	$0$
$\sin x$	$-\cos x$	$-\sin x$	$\cos x$	$\sin x$
$符号$	$+$	$-$	$+$	$-$

第一行为幂函数多次求导，第二行为三角函数或指数函数多次积分，第三行依次为加减不断重复，直至第一行为0。然后将第一二行以左上-右下的方式相乘，最后把结果用加减符号连接起来。

$$
\begin{aligned}
\int x^3\sin x dx
&= +(x^3)(-\cos x)-(3x^2)(-\sin x)+(6x\cos x)-(6\sin x) \\
&= -x^3\cos x+3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + c
\end{aligned}
$$

指数正弦型函数的不定积分

对于形如$\int e^{ax}\sin bxdx$ 或 $\int e^{ax}\cos bxdx$ 的不定积分，除正常按分布积分来算之外，也可使用以下方式简化计算。

设积分式为$\int e^{ax}f(x)dx$形式，其中$f(x)$为$\sin bx$或$cos(bx)$，则积分式结果为：

$$
\int e^{ax}f(x)dx=\frac{1}{a^2+b^2}\cdot \begin{vmatrix}
f(x) & e^{ax} \\
f^{\prime}(x) & (e^{ax})^{\prime}
\end{vmatrix}
$$

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